Évariste Galois (1811-1832): Kısa ve Trajik Bir Matematik Dehasının Hikayesi
Évariste Galois, 25 Ekim 1811'de Paris yakınlarındaki Bourg-la-Reine'de doğdu ve sadece 20 yıl gibi kısa bir süre yaşamasına rağmen matematiğe yaptığı devrim niteliğindeki katkılarla anılır. Cumhuriyetçi bir baba ve eğitimli bir annenin ikinci çocuğu olan Galois, annesinden klasik ve dini eğitim aldı. 12 yaşında Paris'teki Louis-le-Grand Koleji'ne girdi ve burada üçüncü yılında matematikle tanışarak bu alanda derinleşmeye başladı.
Matematiksel Başarıları ve Çalışmaları
Galois, klasik matematik eğitiminden tatmin olmayarak daha ileri seviye kitaplar okumaya başladı. LeGendre'ın "Geometri" adlı eserini ve ardından Lagrange ve Abel gibi büyük matematikçilerin çalışmalarını inceledi. 16 yaşındayken, beşinci dereceden denklemlerin genel çözümüne ulaştığını sandı. Ancak bu yanılgı, matematikte büyük bir hatayı tekrarlamasına neden oldu.
1828 yılında, Louis Paul Émile Richard'ın öğrencisi oldu ve Richard'ın desteğiyle denklemler, sayılar ve eliptik fonksiyonlar üzerine yoğunlaştı. Çalışmaları 1829'da matematik dergilerinde yayınlanmaya başladı. Ancak Bilimler Akademisi'ne sunduğu önemli bir çalışması, Cauchy tarafından kaybedildi ve bu da Galois için büyük bir hayal kırıklığı oldu.
Siyasal Faaliyetler ve Kişisel Çalkantılar
Galois, 1829'da liberal düşünceleri nedeniyle soruşturmalara maruz kaldı ve babasının intiharıyla derin bir bunalıma girdi. Ecole Polytechnique'e girmeyi başaramadı ve bunun yerine Ecole Normale Supérieure'de eğitimine devam etti. 1830'da, cebirsel fonksiyonlar üzerine yaptığı çalışmalar akademik camiada yankı buldu ancak yine de istediği takdiri görmedi. Siyasal olarak da aktif olan Galois, 1830 Devrimi sırasında Cumhuriyetçi düşünceleriyle dikkat çekti ve bu nedenle Ecole Normale Supérieure'den atıldı.
Tutukluluk ve Trajik Ölüm
Galois, 1831'de Cumhuriyet yanlısı faaliyetleri nedeniyle tutuklandı ve kısa süreli hapis cezaları aldı. Bu dönemde bilimsel çalışmalarını sürdürdü. Ancak 1832'de, gizemli bir düello çağrısı aldı. 30 Mayıs 1832'de yapılan bu düelloda karnından yaralanarak ölüme terk edildi ve ertesi gün, 31 Mayıs 1832'de hayatını kaybetti.
Matematikte Galois'in Mirası
Galois'in en büyük başarısı, cebirsel denklemlerin çözümleri üzerine geliştirdiği teoridir. 16. yüzyıldan beri matematikçilerin çözülemeyen beşinci dereceden denklemler üzerine çalışmaları, Galois'in katkılarıyla yeni bir boyut kazandı. Abel ve Galois, beşinci dereceden denklemlerin genel çözümünün bulunamayacağını kanıtladılar. Galois, permütasyonlar ve binom denklemleri üzerine yaptığı araştırmalarla cebir ve sayı teorisine büyük katkılar sağladı ve Galois Teorisi olarak bilinen teoriyi geliştirdi.
Kısacası, Évariste Galois, kısa ve trajik yaşamına rağmen matematiğe yaptığı yenilikçi ve derin katkılarla anılan bir dehadır. Onun çalışmaları, modern cebirin ve sayı teorisinin temellerini atmış ve matematik dünyasında yeni ufuklar açmıştır.
Galois kuramı
Galois kuramının temelinde uygun permütasyonlar ve Galois grubu kavramları yatar, f (x) daha küçük dereceden rasyonel katsayılı çokterimlilerin çarpımı olarak yazılmayan n’inci dereceden rasyonel katsayılı bir çokterimli olması koşuluyla f (x)=0 denkleminin ..n tane farklı ve karmaşık kökü vardır.
Galois kuramında bu köklerin, aralarındaki cebirsel bağıntıları koruyan permütasyonlarına uygun permü-tasyon adı verilir. Örneğin köklerinden birisi X1=4V2 öbürleri X2=X1 X3=— X1 ve X4=—iX, olan X4—2=0 denkleminin kökleri arasında X1X3+X2X4=0 bağıntısı vardır ve (X1, X2, X3, X4) → (X2, X1, X4, X3) permütasyonu bu bağıntıyı koruduğu için uygun bir permütasyondur. Bir denklemin uygun permütasyonlarının kümesi çarpma işlemiyle birlikte Galois grubunu oluşturur.
Bir cebirsel denklemin çözülebilmesi için o denkleme ilişkin Galois grubunun çözülebilir bir grup olmasının gerektiğini belirten bir teoremle süren Galois kuramının son aşamasında n & 5 ise n öğenin permütasyonlarının tümünden oluşan grubun çözülemezliği gösterilir ve böylece beş ya da daha büyük dereceden denklemlerin hepsine uygulanabilir genel bir formülün elde edilmesinin olanaksızlığının kanıtı tamamlanır.
Grup kavramının henüz en ilkel biçimiyle kullanıldığı bir dönemde cebirsel denklemlerin çözümü problemini, cebirin temel işlemleri yerine grubun özelliklerine indirgemeyi başarması ve bugünkü terimleriyle cisim, altcisim ve özeşyapı (otomorfizma) grubu gibi kavramları ustalıkla kullanması, Galois’nın çok kısa bir yaşama sığdırdığı çalışmalarına, özellikle modern cebir ve sayı kuramı açısından çığır açıcı nitelikler kazandırmıştır.