David Hilbert (1862-1943), Alman matematikçi ve matematiksel mantığın önde gelen figürlerinden biridir. Matematiğin birçok alanında önemli katkılar yapmıştır ve matematiksel teoremlerin kanıtlanmasında önemli yöntemler geliştirmiştir.
1862 yılında Königsberg'de (bugünkü Kaliningrad) doğmuş, 1943 yılında Göttingen'de hayatını kaybetmiştir. İlk ve orta öğrenimini Friedrichskolleg ve Wilhelms Gymnasium’da tamamladıktan sonra 1880'de yükseköğrenimine başlamıştır. Yükseköğrenimini büyük ölçüde Königsberg Üniversitesi'nde tamamlamış, sadece Heidelberg Üniversitesi'nde kısa bir dönem geçirmiştir. Heinrich Weber'in fonksiyonlar ve sayı teorisi derslerinden etkilenerek değişmezler (invaryantlar) kuramıyla ilgilenmeye başlamıştır. Doktora çalışmasını, Weber'in yerine geçen Linde-mann'ın danışmanlığında cebirsel değişmezler üzerine yapmıştır. Lise öğretmenliği yapma hakkını kazandıktan sonra Leipzig ve Paris'e yaptığı gezilerde Klein, Poinca-re ve Hermite ile tanışmış, Almanya'ya döndüğünde ise Berlin’de cebir ve sayılar kuramına ilişkin düşüncelerinden büyük ölçüde etkileneceği Kronecker ile karşılaşmıştır. Königsberg'e döndükten sonra doçentlik tezini hazırlamış, 1886'da doçent olarak değişmezler kuramı, determinantlar ve hidrodinamik konularında dersler vermeye başlamıştır. 1892'de yardımcı profesör, bir sonraki yıl ise profesör olarak atanmıştır. 1895'te Göttingen Üniversitesi'ne katılan Hilbert, 1930'da emekli olmuştur. Ancak, sağlığı giderek bozulmasına rağmen ve Nazi yönetiminin üniversiteye baskılarına rağmen, 1925'ten sonra bile bilimsel çalışmalarını sürdürmüştür.
.png)
Gauss, Dirichlet ve Riemann gibi büyük matematikçilerin katkılarıyla 19. yüzyılda önemli bir merkez haline gelen Göttingen Üniversitesi, 20. yüzyılın başlarında da bu ünvanını korumayı başarmıştır. Bu süreçte, Hilbert gibi bilim insanlarının çalışmaları büyük önem taşımıştır. Hilbert, 1910'da Macar Bilimler Akademisi'nin Bolyai Ödülü'nü kazanmış, 1939'da İsveç Akademisi'nin Mittag-Leffler Ödülü'nü Fransız matematikçi Emile Picard ile paylaşmış ve 1930'da Königsberg kentinin onursal hemşehrisi ilan edilmiştir.
Hilbert'in çalışmaları incelendiğinde, farklı konulara odaklanarak bilimsel yaşamını belirli dönemlere ayırdığı görülür. Hilbert, öncelikle 1893'e kadar cebirsel formlarla (değişmezler) ilgilenmiş, ardından 1894-1899 arasında cebirsel sayılar kuramıyla, 1903'e kadar geometrinin temelleriyle, 1904-1909 arasında analizle, 1912'den sonraki dönemde teorik fizikle ve 1918 sonrasında matematiğin temelleriyle ilgili araştırmalara yoğunlaşmıştır.
Değişmezler kuramı, Hilbert'in ilk çalışmalarının odak noktasıydı. Bu kuramın amacı, çeşitli dönüşümler altında değişmeyen (invaryant kalabilen) cebirsel yapıları belirlemek, incelemek ve sınıflandırmaktı. 1880'lerde Erlangen Üniversitesi'nden profesörlerden Paul Gordan, oldukça basit bir sınıfa giren sonsuz sayıdaki değişmezi, yine aynı sınıftan ve sonlu sayıda değişmeze indirgemeyi uzun bir hesapla başarmıştı. Ancak genel teorem için benzer yöntemlerle kanıt bulmanın neredeyse imkansız olduğu anlaşıldı. Hilbert, bu teoremin özel bir durumunu önce Gordan'ın kanıtladığı, sonra da en genel biçimini daha kısa ve açık bir kanıtla bulmayı başardı. Bu süreçte, Kronecker'in ve sezgicilerin reddettiği bir yöntemi kullanarak, aranan çözümün var olmamasının bir çelişkiye yol açacağını gösterdi. Kronecker'in eserlerini incelediği 1892'de, aynı teoremler için yeni ve kesin kanıtlar geliştirdi.
Değişmezler kuramındaki başarılarından hemen sonra Hilbert, 1893'te sayı teorisine yönelmiştir. Öncelikle, e ve π sayılarının transandantal olduklarını gösterdi ve bu kanıtlar Hermite ve Lindemann'ınkinden daha basitti. Daha sonra, cebirsel sayılar üzerine ilginç keşifler yaptı. Aynı yıl, Alman Matematikçiler Derneği tarafından Minkowski ile birlikte cebirsel sayılar kuramını ele alan detaylı bir rapor hazırlamakla görevlendirildi. Minkowski'nin projeden çekilmesinin ardından Hilbert, çalışmalarını tek başına sürdürdü ve 1897'de matematik tarihinde önemli bir eser olan "Der Zahlbericht"ı (Sayı Raporu) yayımladı. Bu rapor, dağınık ve sayısız sonuçları bir araya getirerek cebirsel sayılarla ilgili önemli bir referans haline geldi. 1898'de, sayı teorisinden uzaklaşarak geometrinin temellerini araştırmaya başladı.
Geometrinin temelleri
Geometrinin temelleri, Antik Yunan'da Eukleides'in aksiyomatik yapısının kabul edilmesiyle uzun süre tartışılmamıştı. Ancak 19. yüzyılda Bolyai, Lobachevsky ve Riemann gibi matematikçiler Eukleides dışı geometriler geliştirdiler. Georg Pasch ve Peano gibi matematikçiler ise Eukleides'in aksiyom ve tanımlarının yetersizliğini göstererek daha gelişmiş yapılar önerdiler. İtalyan matematikçi Fano ise aksiyomatik yöntemi ve aksiyomların fiziksel gerçeklikle ilişkisini tartışmaya açtı.
1889'da "Geometrinin Temelleri" adlı eserini yayımlayan Hilbert, aksiyomatik yönteme ilişkin tartışmaları yaygınlaştırmak ve yeni görüşlerin kabul edilmesini sağlamak için büyük katkıda bulundu. Bu eserde, Eukleides dışı izdüşümsel ve diferansiyel geometrileri de içeren genel bir yapı oluştururken, temel kavramların somut gerçekliğe bağımlılığının gereksiz olduğunu ve aksiyomların asıl görevinin bu temel kavramlar arasındaki ilişkileri belirlemek olduğunu vurguladı. Hilbert, nokta, doğru ve düzlem gibi kavramların tanımlanması gerekmeyen özellikle betimlenen geometrik kavramlar olarak seçilebileceğini ve bu şekilde farklı kavramlarla mantıksal yapılar oluşturulabileceğini gösterdi. Ayrıca, geometriyi analiz ve cebire indirgeyerek geometri aksiyomlarının göreli çelişkisizliğini kanıtlamaya çalışırken yeni cebirsel yapıların bulunmasına da öncülük etti.
Hilbert uzayı
Hilbert, 1901'de İsveçli matematikçi Fredholm'ün integral denklemler üzerine çalışmasını inceledikten sonra analize ve bu tür denklemlerin çözümüne yönelik ilgi duymaya başladı. Integral denklemlerinin çözümünde, cebirsel denklemlerin çözümünden bir limit işlemi yardımıyla geçmeyi başardı ve bu süreçte sonsuz boyutlu ve karmaşık koordinatlı bir uzaydan yararlandı. Bu uzay, günümüzde "Hilbert uzayı" olarak anılmakta ve von Neumann tarafından aksiyomatik bir yapıya kavuşturulmuştur. Hilbert uzayı, çağdaş matematiğin temel taşlarından biri olmuş ve kuantum mekaniğinin formüle edilmesinde önemli bir rol oynamıştır.
Hilbert, analiz alanında 1909'a kadar devam eden çalışmaları sırasında Dirichlet ilkesine kesin bir şekil kazandırdı, değişim hesabına önemli katkılarda bulundu ve Waring problemi olarak bilinen bir problemi çözüme kavuşturdu. Bu problem, her a pozitif sayısının, N'nin n'ye bağlı olması koşuluyla en fazla N tane pozitif tam sayının toplamı olarak yazılabileceğini iddia eden İngiliz matematikçi Waring'in öne sürdüğü ancak kanıtlayamadığı bir iddiaydı. Hilbert'in bu probleme getirdiği çözüm, sonraki yıllarda birçok matematikçinin dikkatini çekti.
Hilbert, integral denklemlerine ilişkin buluşlarını kuramsal fizik alanında da uyguladı ve kinetik gaz ve ışıma kuramlarının sınırları içinde yer alan bazı problemlerin çözümünde öncekilerden daha başarılı sonuçlar elde etti. Ayrıca, fiziğe aksiyomatik bir yapı kazandırmaya çalıştı, ancak bu çabalarında başarılı olamadı. 1915'te genel görelilik kuramına katılarak, Einstein'dan bağımsız olarak bu kuramın temel denklemlerini neredeyse aynı zamanda elde etti.
1918'den sonra Hilbert'in ana ilgi alanı, matematiğin temellerinin sağlamlaştırılması ve tüm matematiğin formel bir aksiyomatik dizgeye dönüştürülmesi oldu. Ancak, Gödel'in 1931'de matematiğin çelişkisizliğinin kanıtlanamayacağını gösteren teoremiyle, bu alandaki çalışmalarına son verildi ve matematiğin temelleriyle ilgili araştırmaların yönü temelden değişti.
1900'de Paris'te düzenlenen Uluslararası Matematikçiler Kongresi'ne sunulan ve daha önce çözümlenmemiş en önemli problemlerin tanıtılmasını amaçlayan bir çalışma, yüzyılın matematiğine yön vermiştir. Bu çalışmada yer alan problemlerin bir kısmı daha sonra Hilbert veya başkaları tarafından çözülmüş, bazılarının çözümüne ilişkin önemli adımlar atılmış ve bazılarının ise hala çözülememiştir.
Çağdaş matematiğin önceki dönemlerden farklılaşmasının temel özelliği, hesaptan ziyade geniş kapsamlı, kesin tanımlara ve bu tanımların getirdiği sınıflamalara dayanması ve problem sınıflarının yapısını açıklamaya yönelik düşünsel yapılar üzerine kurulmuş olmasıdır. Hilbert, Abel, Galois, Gauss, Kummer ve Dedekind gibi ustaların çabalarıyla kazanılan bu özelliği geliştirmekte benzersiz bir başarı göstermiş ve çalışmalarıyla matematiğin geleceğine ışık tutmuştur.
Hilbert'in başlıca eserleri:
"Grundlagen der Geometrie" (1899) - ("Geometrinin Temelleri")
"Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Integralgleichungen" (1912) - ("Genel Bir Integral Denklemler Kuramının Temel İlkeleri")
"Anschauliche Geometrie" (Cohn-Vossen ile birlikte, 1932) - ("Somut Geometri")
"Grundzüge der theoretischen Logik" (Ackerman ile birlikte, 1928) - ("Kuramsal Mantığın İlkeleri")
"Grundlagen der Mathematik" (Bernays ile birlikte, 2 cilt, 1934) - ("Matematiğin Temelleri")
"Methoden der mathematischen Physik" (Courant ile birlikte, 2 cilt, 1924) - ("Matematiksel Fiziğin Yöntemleri")