CANTOR, Georg (1845-1918)
Alman, matematikçi. Temel matematik öğretimine yeni bir anlayış getiren küme kuramının kurucusu. Sonsuz kavramına ilişkin çalışmalarıyla mantık ve analizin gelişmesine büyük katkıda bulunmuştur.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 3 Mart 1845’te St.Petersburg’da doğdu. Annesinin etkisiyle gelişen sanat eğilimi, mühendis olmasını isteyen babası tarafından engellendi. Annesi Katolik, babası Protestan olan Cantor Protestanlığı yeğledi. Orta Çağ tanrıbilimin kılı kırk yaran düşünce yönteminden büyük ölçüde etkilendi. Cantor, St.Petersburg’daki ilk öğreniminin ardından 1856’da ailesi ile birlikte Frankfurt’a geldi. Lise öğrenimini Darmstadt ve Wiesbaden’de sürdürdü. Matematik konusundaki yeteneği bu yıllarda ortaya çıktı. Mühendis olmasını isteyen babasının karşı koymaktan vazgeçmesi üzerine 1862’de Zürih Üniversitesi’nde matematik öğrenimine başladı. Ertesi yıl Berlin’e döndü ve Berlin Üniversitesi’nde matematik, fizik ve felsefe, okumaya başladı. Bu okulda, Karl T.Weierstrass’ın verdiği analiz derslerinden büyük ölçüde etkilendi. Sonraları çalışmalarına karşı çıkan Kronecker’den sayı kuramı ve Kari T.Kummer’den yüksek aritmetik dersleri aldı.
1867’de, Göttingen Üniversitesi’nde geçirdiği bir yarı yıl sonrasında, Gauss’un 1801’de yayımlanan Disquisitiones Arithmeticae’smda ortaya atılmış bir problemin çözümü ile ilgili olarak In re mathematıca ars proponendi pluris facienda est quan solvendi (“Matematikte Soru Sorma Sanatı Problem Çözmekten Daha Değerlidir”) adlı doktora tezini hazırladı. 1869’da Halle Üniversitesi’nde ders vermeye başladı. 1879’da profesör oldu. Berlin Üniversitesi’ne geçme çabaları Kronecker tarafından sürekli engellenen Cantor, yaşamının sonuna değin Halle Üniversitesi’nde kaldı. Cantor’un tanınması önce Almanya dışında oldu. İlk çalışmalarını, Mittag-Leffler’in İsveç’te çıkarmakta olduğu Açta Mathematica adlı dergide yayımladı. 1901 yılında Londra Matematik Derneği’nin onur üyeliğine seçildi. 1902’de Christiania (bugün Oslo), 1911 ’de St.Andrews üniversiteleri kendisine onur doktorası verdi.
Çeşitli problemlerin, özellikle sürey varsayımının çözümü için harcadığı çabaların yoğunluğu ve çağdaşı matematikçilerin birçoğunun düşüncelerine karşı olan tutumları, 1880’lerden başlayarak Cantor’u ruhsal bunalımlara itti. 6 Ocak 1918’de Halle Üniversitesi’nin psikiyatri kliniğinde öldü.
Cantor’un Halle’de 1869 ile 1873 yılları arasında ilgilendiği konu sayılar kuramıydı. Trigonometrik seriler üzerindeki çalışmaları Cantor’u gerçek sayıların “temel seriler” (bugün Cauchy dizileri olarak adlandırılır) yardımıyla yazılmasına götürdü. Her pozitif gerçek bir r sayısının Cn, O<Cn<n-1 eşitsizliğini sağlayan bir tam sayı olmak koşuluyla;
cantor serisi.png” border=”0″ alt=”” width=”245 39″ align=”left” />
biçiminde yazılabileceğini gösterdi. Bu seri bugün Cantor’un adıyla anılır.
1873 yılı Cantor’un, ilk kez R.Dedekind ile yazışmalarında görülen küme kuramı ve sonlu ötesi sayılara ilişkin çalışmalarının başlangıç yılı oldu. Bu yazışmalarda gerçek sayılar kümesinin sayılabilir bir küme, başka bir deyişle doğal sayılar kümesiyle arasında birebir uygu kurulabilir bir küme olup olmadığı sorusu Cantor tarafından ortaya atılmıştı. Önceleri her ikisinin de uygulanabilirliği açısından önemsiz buldukları bu soru üzerinde çalışmayı sürdüren Cantor’un, gerçek sayıların sayılamazlığını kanıtladığı 7 Aralık 1873 tarihi küme kuramının doğum tarihidir denilebilir.
Küme kuramı
Crelle’s Journal’At ancak 1874 yılında yayımlanması kabul edilen “Über eine Eigenshaft des Inbegrif-fes aller reellen algebraischen Zahlen” (“Gerçek Cebirsel Sayıların Tümüne İlişkin Bir Özellik Üzerine”) başlıklı çalışması küme kuramının ilk basılı belgesidir. Bu çalışmada, cebirsel sayılar (cebirsel denklemlerin çözümü olabilen sayılar) kümesinin sayılabilirliğini, bir başka deyişle tamsayılar kümesinin öğeleri kadar öğesi bulunduğunu gösterirken, transandant (cebirsel olmayan) sayılar kümesinin sayılamazlığını, ya da tamsayılardan fazla sayıda öğeye sahip olduğunu kanıtladı. Sonsuzun iki türünün (sayılabilir-sayılamaz) olduğunun gösterilmesi matematik tarihinin dönemeçlerinden birisidir.
Boyut kavramı
İlk başarısının ardından Cantor, yeni bir problemle uğraşmaya başladı. Bu kez tek boyutlu doğru ile n-boyutlu Eukleides uzayı arasında birebir uygu kurulabileceğini kanıtlamaya çalışıyordu. Dedekind’e yazdığı 19 Ocak 1874 tarihli mektubunda bir yüzeydeki, örneğin sınırlarıyla birlikte bir karenin yüzeyindeki noktalar kümesi ile uç noktaları kendisine ait bir doğru parçası üzerindeki noktalar kümesi arasında birebir uygu kurulamayacağının açıkça görülmesine karşın kanıtlamanın hiç de kolay olmadığım belirtiyordu.Daha sonra ise böyle bir uygunun kurulabileceğini kanıtladı. Bu problemle ilgili olarak Dedekind’e yazdığı ikinci bir mektupta,“Boyut kavramının değişmezliği ile ilgili tüm matematiksel ve felsefi çıkarımlar bence geçersizdir” diyordu. Dedekind ise Cantor’un kurduğu birebir uygunun süreksiz olduğunu, boyutun değişmezliği için sürekliliğin gerekli olabileceğini vurgulayarak yargıya varmakta acele etmemesini öğütledi. Bunun üzerine Cantor Dedekind’in düşüncesini kanıtlamaya çalıştı. 1879’da kaleme aldığı “Über einen Satz aus der Theorie der steitigen Mannigfaltigkeiten” (“Sürekli Çeşitlemeler Kuramına İlişkin Bir Sav Üzerine”) başlıklı çalışmasını bu amaçla yazdı, ancak kanıtlamayı başaramadı. 1910’da Brouwer’in doğru kanıtına değin boyutun değişmezliği sorunu çözümsüz kaldı.
Aynı dönemde Uber unendliche lineare Punkt-mannigfaltigkeiten (“Sonsuz Doğrusal Nokta Çeşitlemeleri Üzerine”) adlı çalışmasında ortaya attığı “sürey varsayımı” (continuum hypothesis) adıyla anılan problemi, 1897’de yayımladığı Beitrdge zur Begründungder transfiniten Mengenlehre (“Sonluötesi Sayılar Kuramının Temellerine Katkı”) adlı yapıtında daha sağlam temellere oturttu. Bu çalışmada süreklilik ve sonsuz kavramlarıyla birlikte sonluötesi nicel sayılar ve sıra sayılarına ilişkin görüşlerini de topladı. Sonsuz elemanlı kümelerin eleman sayıları arasındaki farklılıklardan yola çıkarak sonluötesi nicel sayılar kavramına ulaştı. Bu sayılar arasında, sonlu sayılar aritmetiğine benzer bir aritmetik geliştirerek sonsuz kavramını zenginleştirdi. Bir doğru üzerindeki noktaların sayısının, sonluötesi nicel sayıların en küçüğünden daha büyük olduğunu gösterdi. 20.yy’da pek çok ünlü matematikçinin kendisine konu olarak seçtiği “sürey varsayımı”na göre, bir doğru üzerindeki noktaların sayısı en küçük nicel sayıdan büyük olmakla birlikte, aralarında bir başka nicel sayı yoktur.
Cantor’un sonsuz kavramına ilişkin çalışmaları matematiğin temellerinin 20.yy başında yeniden gözden geçirilmesine yol açarken, küme kuramı da temel matematik öğretimi yöntemlerini değiştirmiştir. Eğitim sistemine “modern matematik” adıyla giren anlayış Cantor’un kurduğu küme kuramına dayanır. Cantor’un klasik analize yaptığı katkılar da küme kuramına eşdeğer önemdedir. Analizin temellerine ilişkin, ilk kez ortaya attığı sorular ve sonsuz kavramı, limit, süreklilik ve yakınsaklıkla ilgili o güne dek rastlanmamış özgünlükte görüşlerle matematikte bir devrimin öncüsü oldu. Cantor’un kullandığı yöntemler, daha önce kimsenin düşlemediği türdendi. Yapıtlarındaki yaklaşım yine kendisinin “matematiğin özü özgürlüğünde yatar” deyişini doğrular niteliktedir.
• YAPITLAR (başlıca): “Über eine Eigenshaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” Crelle’s Journal, LXXVII, 1874, (“Gerçek Cebirsel Sayıların Tümüne İlişkin Bir Özellik Üzerine”); Grundlagen einer allgemei-nen Mannigfaltigkeitlehre, 1883, (“Genel Bir Küme Kuramının Temelleri”); Beitrage zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, 1897, (“Sonluötesi Sayılar Kuramının Temellerine Katkı”).
* KAYNAKLAR: D.J.Struik, A Concise History of Mat-hematics, 1948; E.T.Bell, Men of Mathematics, 1961.
Türk ve Dünya Ünlüleri Ansiklopedisi