RİEMANN, Bernhard (1826-1866)
Alman, matematikçi. Aralarında n-boyutlu eğri uzay geometrisi de yer alan çığır açıcı buluşlarıyla 20. yy matematiğinin temellerini atmıştır.
Georg Friedrich Bernhard Riemann 17 Eylül 1826’da Hannover yakınlarındaki Breselenz’de doğdu, 20 Temmuz 1866’da İtalya’nın kuzeyindeki Selasca’da öldü. On yaşına kadar babasının, on yaşından sonra da bir ilkokul öğretmeninin gözetiminde geçen ilköğrenimi sırasında tarih ve matematiğe aşırı bir ilgi gösterdi. 1840’ta Han-nover’de başlayan lise öğrenimini 1842’den sonra, ailesinin yaşadığı Breselenz’e daha yakın bir kent olan Lüneburg’da sürdürdü. Lüneburg’da her dersteki, özellikle de matematik dersindeki başarısıyla öğretmenlerinin ilgisini çekmiş ve onları Euler ve Legendre gibi ustaların okul kitaplığında bulabildiği kitaplarını çok kısa süreler içinde okuyup anlamayı başararak şaşırtmıştı. 1846’da babasının isteğine uygun olarak edebiyat ve tanrıbilim okumak üzere Göttingen Üniversitesi’ne girdi. Bir an önce yaşama atılıp ailesine yük olmaktan kurtulmak amacıyla seçtiği bu öğrenimi srrasında da matematikle ilgisini kesmeyerek Goldschmidt,Stern ve Gauss’un derslerini izleyen Riemann, ertesi yıl matematikçi olmaya ve öğrenimini, içinde Gauss gibi büyük bir matematikçi bulunmasına karşın yetersiz bir öğretim kadrosuna sahip olan Göttingen Üniversitesi yerine, her türlü yeni düşünceye açık, genç ve yaratıcı matematikçilerin ders verdiği Berlin Üniversitesi’nde sürdürmeye karar verdi.
1847’de gittiği Berlin’de Dirichlet’in sayı kuramı, kısmi diferansiyel denklemler ve belirli integraller, Jacobi’ nin analitik mekanik ve yüksek cebir, Einsenstin’m eliptik fonksiyonlar konularındaki derslerini izledi. 1849’da, Wilhelm Weber’in gelişiyle belirgin bir canlılık kazanmış olan Göttingen Üniversitesi’ne döndü. Öğreniminin Göttingen’de geçirdiği son üç yarıyılında fizik, felsefe ve eğitim konularında, başta Weber’inkiler olmak üzere birçok ders ve seminere katıldı. 1851 yılının sonlarında genel karmaşık değişkenli fonksiyonlar kuramının ilkelerini konu alan doktora tezini tamamladı. Sonradan “Riemann yüzeyleri” olarak anılacak yüzeyleri de içeren bu çalışmasıyla Gauss’un hayranlığını kazanmayı başarmıştı. Doktorasının ardından, kendisine ancak ücretsiz olarak ders verme hakkı kazandıracak olan doçentlik tezini hazırlamaya girişti. 1853 yılının sonuna doğru, fonksiyonların trigonometrik serilerle gösterilişine ilişkin tezini fakülteye sunmuş, tezinin kabulünün ardından da, doçentlik sınavının son aşaması olan deneme dersi için önermesi gereken üç konuyu fakülteye bildirmişti. Gauss, o yılların genel uygulamasının dışına çıkıp, doçent adayının önerdiği birinci konu yerine ilginç bulduğu üçüncü konunun, “geometrinin temelindeki varsayımlar” konusunun seçilmesini sağladı. Ancak, yeteneğinin büyüklüğüne inandığı Riemann’ın böylesine ilginç bir konudaki görüşlerini öğrenmeyi amaçlarken, zor durumda kalmasına da neden olmuştu. Önerdiği birinci konunun seçilmesini bekleyen, yalnızca kurallar gerektirdiği için bildirdiği bir konunun seçilmesi üzerine hazırlıksız yakalanan Riemann, çalışmalarını 1854 Mayıs’ında tamamladı ve Haziran’da verdiği dersini, bilim tarihinin en parlak gösterilerinden birine dönüştürdü. Dehasıyla bu şanssızlığın üstesinden gelmeyi, matematik tarihinin başyapıtlarından birini yaratmayı ve sonradan “Riemann geometrisi” olarak anılacak olan yeni bir geometrinin temel ilkelerini olanaklı olduğu ölçüde sade bir dille tanıtan dersiyle, Gauss’u bir kez daha etkilemeyi başarmıştı. Aynı yıl gönüllü doçent olarak, 1855’ te de düzenli bir ücret karşılığında ders vermeye başladı. 1857’de yardımcı profesörlüğe, Gauss’tan sonra kürsüye atanmış olan Dirichlet’in ölümü üzerine 1859’da da profesörlüğe ger tirildi. Önemli bir rahatsızlık geçirdiği 1862 yılının sonlarında, tedavi amacıyla İtalya’ya gitti. 1863 Haziran’ ında yine Göttingen’de görevinin başındaydı. Ancak giderek bozulan sağlığı İtalya’ ya dönmesine ve Göttingen’ de bir kış daha geçirdikten sonra da İtalya’da ölmesine neden oldu. Annesinin ve dört kardeşinin de genç yaşta ölmüş olmalarından yola çıkan tarihçiler, Riemann’ın küçük yaşta yakalandığı tüberküloz hastalığından öldüğünü öne sürmektedirler.
Uzun hesaplardan ve formüllerden kaçman, ele aldığı konuları uygun düşünce dizgeleri kurarak çözmeyi seçen ve bu yönüyle çağdaş matematiğin genellik ve soyutluk kazanmasında önemli bir yeri olan Riemann’ın çalışmalarının çok büyük bir bölümü ölümünden sonra yayımlanmış, katkılarını gerçek boyutlarıyla sergileyebilen bir araştırma ise bugüne değin yapılmamıştır. Az sayıdaki, ancak benzersiz yetkinlik ve özgünlükteki çalışmalarında, yalnızca tanınan konulan zenginleştirmekle kalmayıp, yeni ufuklar da açan Riemann’ın ortaya attığı ve yaşamının kısalığı yüzünden kanıtlamaya zaman bulamadığı kimi teoremlerin ancak 20. yy’da kanıtlanabilmesi bu bilim adamının düşünce dizgesinin sağlamlığını göstermeye yetmektedir.
n-boyutlu eğri uzay
Berlin Üniversitesi’ndeki öğretmenlerinden biri olan Dirichlet’in yardımıyla hazırladığı “Über die Darsteil-barkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Rei-he” (“Bir Fonksiyonun Trigonometrik Bir Seriyle Gösterilişi Üstüne”) başlıklı doçentlik tezinde belirli integralin yeni ve daha etkili bir tanımından yola çıkarak, verilen bir fonksiyonun hangi koşullar altında bir trigonometrik seriyle gösterilebileceğini çok genel bir biçimde onaya koyan Riemann’ın doçentlik deneme dersinin metni “Über die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen” (“Geometrinin Temelindeki Varsayımlar”) yaşadığı yüzyılın ötesinde bir matematik anlayışının ürünüydü. Riemann, bugün “Riemann Geometrisi” diye bilinen n-boyutlu eğri uzayların diferansiyel geometrisini ilk kez ortaya koyan bu çalışmada geometrinin, Eukleides’den beri alışılagelmiş yöntemlerden çok değişik bir biçimde kurulabileceğini gösterdi. Eukleides, geometrisini bir aksiyon dizgesi üstüne kurmuştu. Riemann ise n-boyutlu bir nokta kümesinden yola çıkarak, koordinatları birbirinkinden çok az farklı iki nokta arasındaki uzaklığın tanımlanmasının bir geometri kurmaya yeteceğini gözler önüne serdi. Bunu yaparken, “Riemann uzaklık tanımı’’nın birbirine çok yakın iki nokta için Eukleides’inki gibi olduğunu varsaymıştı. Çok genel bir biçimde kurulan bu geometri özel durumlar olarak Eukleides’in klasik geometrisiyle birlikte Bolyai-Lobaçevski ve yine aynı çalışmada örnek olarak verilen “dar anlamdaki Riemann geometrilerini” de kapsar. Dar anlamda Riemann geometrisi Eukleides’in beşinci aksiyomunun yerine, Bolyai-Lobaçevski geometrisindekinin tersine, verilen bir doğruya, dışındaki bir noktadan paralel çizilemeyeceği aksiyomuna dayandırılmıştı.
Riemann’dan önce Gauss, üç boyutlu uzayda eğri yüzeylerin diferansiyel geometrisini incelemiş ve bir yüzeyin eğriliğinin sadece o yüzey üzerinde yapılacak ölçümlerle tespit edilebileceğini göstermişti. Riemann ise bunun çok ötesine giderek n-boyutlu eğri uzayların geometrisini kurdu ve onun özelliklerini inceledi. Genel koordinatlar kullanıldığında uzaklık formülünü Eukleides geometrisine de uydurmakta, günümüzde Riemann-Christoffel tensörü olarak anılan karışık bir matematiksel anlatımdan yararlanmış ve uzayın gerçekten eğri olması için bu anlatımın sıfırdan farklı olması gerektiğini göstermişti. Uzaklık formülü ne kadar karmaşık görünürse görünsün, Riemann-Christoffel tensörü özdeş olarak sıfıra eşitse uzay Eukleides uzayı oluyordu.
Genel görelilik
Aynı çalışmada fiziğin temellerinin de geometriye da-yandırılabileceğini sandığını ancak, dersin içeriğinin bu konuya girmesini engellediğini belirten Riemann’dan altmış yıl sonra A.Einstein genel görelilik kuramında Riemann geometrisinden yararlanacak ve yerçekimini dört boyutlu bir eğri uzay-zaman geometrisine indirgeyecektir.
Riemann yüzeyleri
Riemann 1857’de yayımladığı Abel fonksiyonlarıyla ilgili araştırmalarım içeren dön makalesiyle de fonksiyonlar kuramına büyük bir katkıda bulundu, bu kurama çok temel bir kavram ve yardımcı araç olan Riemann yüzeylerini kazandırdı. Bu çalışmasında birden çok değerli analitik fonksiyonların incelenmesinde Abel’in üstesinden gelemediği kimi zorlukları, sadeliği ölçüsünde başarılı bir yöntemle yenmeyi başarmıştı. Bağımsız karmaşık değişkenin gösterildiği karmaşık düzlemi birden çok, gerekirse sonsuz sayıda katmanın üst üste konmasıyla elde edilen bir bölge olarak düşünmüş ve böylece birden çok değerli bir fonksiyonu, her katmanda tek bir değere sahip bir fonksiyona dönüştürmüştü. Sonraki yıllarda çok değerli fonksiyonların özelliklerinin incelenmesinde en uygun araç olduğu belirginleşen Riemann yüzeylerinin birbir-leriyle ilişkisini araştırırken de çağdaş matematiğin, geometrik biçimlerin uzaklık kavramından bağımsız, yalnız süreklilikle ilgili özelliklerini konu edinen dalı olan topolojinin kurucuları arasında anılmasını sağlayacak düşünce ve yöntemler geliştirdi.
Topoloji & Riemann varsayımı
Riemann, 1859’da Berlin Akademisi’ne sunduğu “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” (“Verilen Bir Sayıdan Küçük Asal Sayıların Sayısına İlişkin İnceleme”) başlıklı ünlü makalesinde de, sayı kuramı alanında ilginçliğini günümüzde bile sürdürebilen görüşler öne sürdü. Asal sayılar kuramının en ilgi çekici problemlerinden birini çözmeye yönelik bu çalışmasında daha önce geliştirdiği analitik yöntemlerden yararlanarak, Euier tarafından da incelenmiş olmasına karşın bugün Riemann’ın adıyla tanınan zeta fonksiyonunun birçok özelliğini belirledi ve bu fonksiyonu tüm karmaşık düzlemlerde geçerli olacak bir yapıya kavuşturdu. Riemann’ ın bu çalışmada kanıtsız olarak kullandığı “Riemann varsayımı”nın kanıtlanmasını amaçlayan yoğun çabalardan hâlâ olumlu bir sonuç alınamamıştır.
Riemann geometrisi, Riemann yüzeyleri, cebirsel fonksiyonlara ilişkin Riemann-Roch teoremi, Riemann gönderim teoremi, Riemann integrali, trigonometrik serilerle ilgili Riemann yöntemi, Abel fonksiyonları konusundaki Riemann matrisleri, Riemann zeta fonksiyonu, hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan Riemann yöntemi, Riemann-Lebesque teoremi, Riemann eğriliği, Riemann-Lioville integralleri gibi kendi adıyla anılan buluşların sayısının çokluğu, Riemann’ın görece kısa yaşamı ve araştırmaların azlığı göz önüne alındığında ne denli yaratıcı bir matematikçi olduğunu anlatmaya yetmektedir. Matematiğin yanı sıra 19- yy’da Helmholtz tarafından fiziksel gerçeklere uymadığı ve felsefî açıdan yanlış olduğu için geçersiz olduğu öne sürülen ve ancak 20. yy’da Einstein’ın genel görelilik kuramına uygunluğu ortaya çıktıktan sonra ne denli değerli olduğu kavranılabilen n-boyutlu eğri uzay geometrisini kurmakla, kuramsal fiziğe de büyük bir katkıda bulunduğu anlaşılan Riemann, bilim tarihinin en yaratıcı kişilerinden biri olarak değerlendirilmektedir.
• YAPITLAR (başlıca): Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicherNachlass(ö.s.) R.Dedekind,H.Weber (der.), 1876, (“Toplu Matematik Yapıtları ve Bilim Mirası”); Gesammelte mathematische Werke, Nachtrage, (ö.s.), M.No-ether, W.Wİrtinger (der.),1902, (“Toplu Matematik Yapıtları, Ekler”).
• KAYNAKLAR: E.T.Bell, Men of Mathematics, 1936.
Türk ve Dünya Ünlüleri Ansiklopedisi