Eukleides, MÖ 4-3. yüzyıllarda yaşamış olan bir Eski Yunan matematikçisidir. Geometrinin temellerini aksiyomlar ve postulatlar üzerine inşa ederek, 19. yüzyıla kadar tartışmasız kabul gören bir matematik sistemi oluşturmuştur.
Eukleides'in yaşamıyla ilgili kesin bilgilere çok az rastlanır. İskenderiye'de bir okul kurduğu ve MÖ 300'lerde adını duyurduğu bilinir; ancak doğum yeri ve kesin yaşam tarihleri belirsizdir. Bazı kaynaklar, Atina'daki Akademia'da Platon'un öğrencilerinden ders aldığını, Mısır'ın I. Ptolemaios döneminde (MÖ 384-205) İskenderiye'de bulunduğunu, uzun yıllar Knidoslu Apollonios'a öğretmenlik yaptığını ve büyük olasılıkla İskenderiye'de öldüğünü öne sürer.
Eukleides, matematik tarihinde, "Stoıkheia" adlı eserin yazarı olarak bilinir. Bu eser, Eukleides geometrisinin egemenliğinin başlangıcı olarak kabul edilir ve tümdengelim yönteminin güçlü bir kanıtı olarak görülür. "Stoıkheia" sadece 2000 yıldan fazla bir süredir geometri üzerinde etkili olmakla kalmaz, aynı zamanda insan düşüncesini de etkileyen ve çağlar boyunca en çok çevrilen ve yayımlanan kitaplardan biri olmuştur.
Eukleides'in çalışmalarının bir sentezi olan "Stoıkheia", Knidoslu Eudoksos ve Theaitetos'un eserlerinin derlenmesiyle oluşmuştur. Eukleides'in yaşamına ilişkin az bilgi olması ve Elemanlar'ın bir derleme niteliği taşıması, bazı bilim tarihçilerini, eserin aslında İskenderiye'deki bir geometri okulunun ortak bir çalışması olduğu düşüncesine yönlendirmiştir.
"Stoıkheia" metni, İS 4. yüzyılda Eukleides'in çalışmasını temel alarak bazı değişikliklerle kaleme alan İskenderiyeli Theon aracılığıyla günümüze ulaşmıştır. Eser, 8. yüzyılda Arapça'ya çevrilmiş ve daha sonra 12. yüzyılda Latinceye çevrilerek Batı dünyasına tanıtılmıştır. 19. yüzyılda Vatikan kütüphanelerinde, Theon'un metninden daha eski ve orijinal bir Yunanca metin bulunmuş ve Elemanlar'ın değişikliğe uğramamış yeni çevirileri yapılmıştır. Bugüne kadar ünlü İslam bilginleri olan Huneyn b. İshak (9. yüzyıl) ve Nâsıreddin Tusi (13. yüzyıl) gibi birçok kişi tarafından Arapça'ya çevrilen "Stoıkheia", Türkçe'ye henüz çevrilmemiştir.
Eukleides geometrisinin aksiyom ve postulatları
Eukleides'in "Elemanlar" adlı eseri, 13 kitaptan oluşur ve geniş geometri ve sayı bilgisinin yanı sıra, ilksel ve önermeli tümdengelim yönteminin de ilk örneğini içerir. Eukleides, eserine tanımlar, aksiyomlar ve genel kavramlar sunarak başlar. Beş aksiyom ve beş genel kavram kullanarak geometrinin temellerini atmıştır. Bu aksiyomlar ve genel kavramlar, örneğin, her iki ucundan sonsuza dek uzatılabilecek bir aralığın bulunabileceği gibi, tüm dik açıların eşit olduğunu iddia eder.
Daha sonraları, Eukleides'in genel kavramları aksiyom, aksiyomları ise postulat olarak kabul edilmiştir. Yüzyıllar boyunca, birçok matematikçi bu postulatları kanıtlamaya çalışmıştır. Özellikle, "V. postulat" olarak bilinen "paralellik aksiyomu", kanıtlanamamıştır. Ancak 19. yüzyılda Gauss, Bolyai ve Lobachevsky, bu postulatın yanlış olduğu varsayıldığında farklı geometrilerin kurulabileceğini göstermişlerdir. Bolyai ve Lobachevsky'nin "hiperbolik geometri"si ve daha sonra Riemann'ın "eliptik geometri"si gibi Eukleides dışı geometriler, bu keşiflerle ortaya çıkmıştır.
Elemanlar’ın 13 kitabı
Elemanlar, içerik bakımından, Eukleides'ten çok Eudoksos ve Theaitetos'a aittir denebilir. Proklos, Pappos ve Arkhimedes'ten kaynaklanan bilgilere göre, Elemanlar'ın en önemli iki kitabı olan V. ve XII. kitaplar Eudoksos'un, X. ve XIII. kitaplar ise Theaitetos'un çalışmalarını kapsar. Diğer kitapların birçoğunda da, bu matematikçilerin yanı sıra Pythagoras ve öğrencilerinin çalışmalarından yararlanan Eukleides'in önemi, yeni teoremler bulmasında ve yeni çözümler geliştirmesinde değil, kendisinden önce yapılmış çalışmaları benzersiz bir ustalıkla derleyip son derece sağlam bir mantıksal yapı içinde yeniden düzenlemesindedir. Özgün çözüm ve kanıtlarda, yalnızca kullandığı aksiyomatik yapıya uygunluk sağlamak gerektiği zaman değişiklikler yapan Eukleides, önermelerini sunuştan sonuca kadar süren belirli aşamalardan geçirmiştir. Önermenin sunulması, ayrıntılandırılması, kanıtlamada kullanılacak araçların tanıtılması, kanıtları ve genel sonuca varılması biçiminde özetlenebilecek olan bu aşamalar, kendisinden sonraki tüm çalışmalara örnek olmuştur.
Elemanlar'ın ilk kitabında, tanım, aksiyom ve genel kavramların tanıtıldığı bölümden sonra benzer üçgenler, kesişen doğrular, bir açının iki eşit parçaya bölünmesi, verilen bir noktadan verilen bir doğruya dikme çizilmesine ilişkin problemler ve teoremlerle, bir üçgenin iç açılarının toplamının iki dik açıya eşit olduğunun kanıtlanması yer alır. Üçgen, kare ve paralelkenarların alanlarının karşılaştırılması ile ünlü Pythagoras teoreminin kanıtı da bu kitaptadır. İkinci kitapta dikdörtgenin tanımı, bazı cebirsel özdeşliklerin kanıtı ve x+y=a, xy—b^2 türünden iki bilinmeyenli cebirsel denklem sistemlerinin çözümleri verilmiştir. Üçüncü ve dördüncü kitaplar çember, kiriş ve teğete ilişkin, bugün de kullanılan teorem ve problemlere ayrılmıştır.
Elemanlar'ın en önemli kitabı olarak kabul edilen V. kitapta, Eudoksos'un, çağdaş terimlerle "m ve n birer doğal sayı olmak koşuluyla, na ve nc, mb ve md ile karşılaştırıldığında birlikte büyük (na>mb ve nc>md), eşit ya da küçük oluyorlarsa, a, b, c, d sayıları orantılıdır" biçiminde anlatılabilecek olan eşit oranlar tanımı ve bu tanım yardımıyla elde edilebilen pek çok teorem ele alınmıştır. 19. yüzyılda Weierstrass ve Dedekind tarafından kurulan gerçek sayılar kuramının, bu kitabın çağdaş bir yinelemesi olduğu söylenebilir. VI. kitapta oranlar kuramı düzlem geometriye uygulanmış ve "benzerlik" kavramı geliştirilmiştir.
Sayıbilgisine ayrılan VII., VIII., IX. kitaplarda teklik, çiftlik, asallık ve aralarında asallık gibi kavramlar, kare, küp ve yetkin sayı tanımları ile Eukleides algoritması olarak bilinen, verilen iki tamsayının ortak bölenlerinin en büyüğünün bulunmasını sağlayan yöntem tanıtılmıştır. İrrasyonel sayılarla ilgili olan X. kitapta 1. teorem olarak verilen Eudoksos'un "tüketme" yöntemi, XI. ve XII. kitapların da konusunu oluşturur. Integral hesabın ilk örneği olarak kabul edilen ve eğrilerle sınırlı alanları, eğri yüzeylerle sınırlı hacimleri hesaplamakta kullanılan "tüketme" yöntemine sık sık başvuran XII. kitap analizin başlangıcı sayılmıştır. XIII. kitapta ise, düzgün dörtyüzlü, küp, düzgün sekizyüzlü, düzgün yirmiyüzlü gibi üç boyutlu katı cisimlere ilişkin ve çoğu Theaitetos'a ait olan problemler yer alır.
Eukleides’in diğer yapıtları
Eukleides'in, Elemanlar'ıyla birlikte tamamlayıcı kitap niteliğinde olan Dedomena ("Veriler") eserinin, anarmonik oranlar ve homografik bölümler gibi birçok çağdaş kuramın temelinde yatan bilgileri içerdiği ileri sürülmektedir. Porismata ("Porizmalar") adlı eseri, anılan Porizmalar teoremiyle tanınır ve bu eserin Elemanlar'ın bir devamı olduğu düşünülür. Ayrıca, ikinci dereceden konik yüzeyleri ele aldığı bilinen Topoi pras piphaneia ("Yüzeylerin Geometrik Yerleri") ve aksiyomatik bir yöntemle kaleme aldığı ve ışık ışınlarının bir doğru çizgi boyunca yayıldığını ileri sürdüğü Optika ("Optik") gibi eserlerine de değinilir. Aynalarla ilgili Katoptrika ve evrenin bir küre olduğunu varsayarak gök cisimlerinin dönme hareketini geometri yasalarıyla açıklayabilecek önermeler getiren Phainomena ("Doğa Olayları") adlı yapıtları da bu kapsamdadır. Ancak, çoğu kayıp olan bu eserlerin tamamının Eukleides'e ait olup olmadığı konusu, bilim tarihçileri tarafından kuşkuyla karşılanır.
yüzyılda Eukleides dışı geometrilerin geliştirilmiş olmasına rağmen, günümüzde bile ortaöğretimde Eukleides geometrisinin temel alınması, Eukleides'in ve Elemanlar'ın önemini ortaya koyan en güçlü kanıttır. Bu durum, Eukleides'in geometri çalışmalarının ve Elemanlar'ın geometri eğitimindeki temel rolünün ne denli önemli olduğunu vurgular.
Eukleides'in eserleri arasında "Elements" (Elemanlar) adlı eseri en ünlüsüdür ve genellikle en önemli kabul edilir. Ancak, onun dışında Optika (Optik), Phainomena (Doğa Olayları) ve Katoptrika (Aynalar) gibi diğer eserler de bilinmektedir. Bunlar, farklı konularda geometri, optik ve gözlem bilimi üzerine yazılmıştır. Ancak, bu eserlerin bazıları günümüze ulaşmamış veya kaybolmuş olabilir.